Valor Absoluto

Cualquier punto "a" tiene su representación en la recta real,el valor absoluto de un numero representa la distancia de éste al punto de origen.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuerpos o espacios vectoriales.El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnutd y distancia en diferentes contextos matemáticos y físicos.

Desde un punto de vista geómetrico, el valor absoluto de un número real a corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde a hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

Propiedades fundamentales

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0 ⇔ a = 0
3. |ab| = |a| |b|
4. |a+b| ≤ |a| + |b|

Otras propiedades

1. |-a| = |a|	Simetría
2. |a-b| = 0 ⇔ a = b	Identidad de Indiscernibles
3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b|	Desigualdad Triangular
4. |a-b| ≥ ||a| - |b||
5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0)	Preservación de la dívision

Otras dos útiles inecuaciones son:

• |a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b
• |a| ≥ b ⇔ a ≥ b b ≤ -a

por ejemplo:

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitagoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

y

es el conjugado de z, luego podemos ver que:

Esta última fórmula, es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos.